Сжато-изогнутые стержни

При расчете верхнего пояса ферм при внеузловой нагрузке, при расчете колонн с эксцентричной нагрузкой и в других случаях необходимо рассчитывать такие элементы на совместное действие сжимающей силы и изгибающего момента М.

Кроме основного момента, вызываемого поперечной нагрузкой, при расчете сжато-изогнутых деревянных стержней учитывается еще дополнительный момент, который возникает от действия продольной силы на деформированный стержень (рис. 51). Этот дополнительный момент равен произведению продольной силы N на стрелу прогиба f. Величина полного прогиба зависит от взаимодействия между моментом М и продольной силой N.

Приблизительно можно считать, что связь между прогибом от поперечной нагрузки f₀ и полным прогибом может быть выражена следующей формулой:

где N_кр - критическая сила по Эйлеру; при любой гибкости стержня

Приняв синусоидальную форму изгиба от симметричной поперечной нагрузки, будем иметь:

или

и, следовательно, для середины пролета, т. е. при опуская знак (-), получим:

откуда

Рис. 51. Сжато-изогнутый стержень. а - при осевой нормальной силе; б - при эксцентрично действующей силе

В таком случае суммарный прогиб

а суммарное напряжение

подставив сюда значение -прогиба из формулы (31), получим для максимального краевого напряжения:

Приняв максимальное краевое напряжение в предельном состоянии равным расчетному сопротивлению на сжатие, можем написать

Обозначим 1 - N/N_кр = E преобразуем это выражение.

Значение критической силы N_кр может быть представлено через критическое напряжение и площадь поперечного сечения элемента:

после подстановки сюда значения критического напряжения по формуле (13) получим:

приняв Ф = 3100/Л² получим окончательное выражение:

Величина коэффициента E действительна в пределах от 1 до 0. Действительно, приняв E = 1, мы должны положить Л = 0, т. е. пренебречь влиянием гибкости стержня на его напряженное состояние. Тогда формула (31а) примет свой обычный вид:

Приняв E = 0, получим:

или

так как 3100/Л²=Ф

В этом случае вся несущая способность стержня использована для работы на сжатие, и нагрузка от изгиба не может быть допущена. Подставив в формулу (31,б) значение E из (33), получим формулу для расчета сжато-изогнутого стержня в виде:

Внесем дополнения в эту формулу, учтя возможное ослабление сечения стержня и неравенство в общем случае расчетных сопротивлений и коэффициентов условий работы при сжатии и при изгибе. После этого:

или

В результате мы получим формулу для расчета сжато-изогнутого стержня по предельному состоянию.

В этой формуле коэффициентом E учитывается увеличение изгибающего момента М за счет действия продольной силы на деформированный стержень.

Полученное выражение для коэффициента E является приближенным, так как при выводе его было принято значение Ф = 3100/Л², что справедливо только для стержней с гибкостью Л>=75 и при допущении, что формулы для прогиба стержня, выведенные из условия E = const, будут справедливы и для предельного состоянии стержня. По и при наличии указанных неточностей выведенная формула для расчета сжато-изогнутого стержня дает удовлетворительное приближение к результатам более точных расчетов.

Для устранения недоразумений, которые могут получиться при расчете сжато-изогнутых стержней с гибкостью менее 75, когда Ф =1-0,8(Л/100)², Нормы (НиТУ-122-55) рекомендуют при напряжениях изгиба M/W_бр превышающих 10% от напряжения N/F_бр, не учитывать изгибающего момента и рассчитать стержни в этом случае только на устойчивость.

Сжато-изогнутый стержень должен быть проверен на устойчивость в плоскости, перпендикулярной плоскости изгиба. В этом случае изгибающий момент не учитывается и проверка проводится по правилам, установленным для расчета центрально сжатых стержней.

Расчетное значение поперечной силы (Q) и сдвигающего усилия (Т) в сжато-изогнутом стержне с учетом влияния продольной силы N будет:

Местная нагрузка в панели верхнего пояса от каждого прогона:

Пример. Верхний пояс деревянной фермы пролетом 14,20 м имеет сечение 15x18 см. Длина панели 2,4 м.

В пролете панели уложено два прогона на расстоянии 0,8 м. Сжимающее усилие от постоянной нагрузки N₁ = 2,5 m и от снеговой нагрузки N₂ = 3,70 т. Расчетная длима l₀ = 2,4 м.

Сосредоточенная постоянная нагрузка от каждого прогона Р₁ = 250 кг и временная от снега - Р₂ = 375 кг. Проверить принятое сечение верхнего пояса.

Учитывая по табл. 9 коэффициенты перегрузки, получим расчетную сжимающую силу:

Наибольший изгибающий момент от местной нагрузки

Пользуясь формулой (34), для прямоугольного сечения, имеем:

Согласно данным табл. 7 (см. § 11, глава 11, раздел 111), имеем: коэффициент условия работы для сжатия т_с= 1,0 и для изгиба - при h/b = 18/15 = 1,2<3,5, тогда m_u=1,15

Подставляя полученные значения в формулу (34), имеем:

Следовательно, принятое сечение достаточно. Наличие в панели двух прогонов не требует поверки пояса на устойчивость из плоскости фермы.